Ich arbeite mit einer großen Menge an Zeitreihen. Diese Zeitreihen sind grundsätzlich Netzwerkmessungen, die alle 10 Minuten kommen, und einige von ihnen sind periodisch (d. h. die Bandbreite), während einige andere Arent (d. h. die Menge des Routing-Verkehrs). Ich möchte einen einfachen Algorithmus für eine Online-Ausreißer-Erkennung. Grundsätzlich möchte ich die ganze historische Daten für jede Zeitreihe im Speicher (oder auf Festplatte) behalten und ich möchte jeden Ausreißer in einem Live-Szenario erkennen (jedes Mal, wenn ein neues Sample erfasst wird). Was ist der beste Weg, um diese Ergebnisse zu erreichen Im derzeit mit einem gleitenden Durchschnitt, um etwas Lärm zu entfernen, aber dann was als nächstes Einfache Dinge wie Standardabweichung, verrückt. Gegen den ganzen Datensatz funktioniert nicht gut (ich kann nicht annehmen, dass die Zeitreihen stationär sind), und ich möchte etwas genaueres, idealerweise eine Black Box wie: double outlierdetection (double vector, double value) wobei vector das Array von doppelten enthält Die historischen Daten und der Rückgabewert ist die Anomalie für den neuen Stichprobenwert. Fragte am 2. August um 20:37 Ja, ich habe angenommen, dass die Frequenz bekannt und spezifiziert ist. Es gibt Methoden, um die Frequenz automatisch abzuschätzen, aber das würde die Funktion erheblich erschweren. Wenn du die Häufigkeit abschätzen musst, versuchst du, eine eigene Frage darüber zu stellen - und ich werde wahrscheinlich eine Antwort geben. Aber es braucht mehr Platz, als ich in einem Kommentar zur Verfügung habe. Ndash Rob Hyndman Eine gute Lösung wird mehrere Zutaten haben, einschließlich: Verwenden Sie eine resistente, bewegte Fenster glatt, um Nichtstationarität zu entfernen. Die ursprünglichen Daten so ausdrücken, dass die Reste in Bezug auf die Glattheit etwa symmetrisch verteilt sind. Angesichts der Natur Ihrer Daten, ist es wahrscheinlich, dass ihre Quadratwurzeln oder Logarithmen symmetrische Residuen geben würde. Tragen Sie Kontroll-Chart-Methoden, oder zumindest Kontrolle Diagramm Denken, um die Residuen. Soweit das letzte Mal geht, zeigt das Kontroll-Diagramm-Denken, dass herkömmliche Schwellen wie 2 SD oder das 1,5-fache des IQR jenseits der Quartile schlecht funktionieren, weil sie zu viele falsche Out-of-Control-Signale auslösen. Die Leute benutzen gewöhnlich 3 SD in der Kontrollkarte Arbeit, wo 2,5 (oder sogar 3) mal die IQR jenseits der Quartile wäre ein guter Ausgangspunkt. Ich habe mehr oder weniger die Art der Rob-Hyndmans-Lösung umrissen und dabei zwei Hauptpunkte hinzugefügt: das Potenzial, die Daten wiederzugeben und die Weisheit, bei der Signalisierung eines Ausreißers konservativer zu sein. Im nicht sicher, dass Loess ist gut für einen Online-Detektor, obwohl, weil es nicht gut funktioniert an den Endpunkten. Sie könnten stattdessen etwas so einfaches wie ein bewegliches Medianfilter verwenden (wie bei Tukeys resistenten Glättung). Wenn Ausreißer nicht in Bursts kommen, können Sie ein schmales Fenster benutzen (5 Datenpunkte, vielleicht, die nur mit einem Burst von 3 oder mehr Ausreißern innerhalb einer Gruppe von 5 brechen). Sobald Sie die Analyse durchgeführt haben, um eine gute Re-Expression der Daten zu bestimmen, ist es unwahrscheinlich, dass Sie den Re-Ausdruck ändern müssen. Daher muss Ihr Online-Detektor wirklich nur die aktuellsten Werte (das neueste Fenster) verweisen, weil es nicht die früheren Daten überhaupt verwenden wird. Wenn Sie wirklich lange Zeitreihen haben, können Sie weiter gehen, um Autokorrelation und Saisonalität zu analysieren (wie wiederkehrende tägliche oder wöchentliche Schwankungen), um das Verfahren zu verbessern. Antwortete Aug 26 10 at 18:02 John, 1.5 IQR ist Tukey39s ursprüngliche Empfehlung für die längsten Whiskers auf einem Boxplot und 3 IQR ist seine Empfehlung für die Markierung von Punkten als Quoten outliersquot (ein Riff auf einer beliebten 6039s Phrase). Dies ist in viele Boxplot-Algorithmen eingebaut. Die Empfehlung wird theoretisch in Hoaglin, Mosteller, amp Tukey, Understanding Robust und Exploratory Data Analysis analysiert. Ndash w huber 9830 Oct 9 12 at 21:38 Dies bestätigt Zeitreihendaten, die ich versucht habe zu analysieren. Fensterdurchschnitt und auch Fensterfensterabweichungen. ((X - avg) sd) gt 3 scheinen die Punkte zu sein, die ich als Ausreißer markieren möchte. Nun zumindest warnen als Ausreißer, ich fasse etwas höher als 10 sd als extreme Fehler Ausreißer. Das Problem, in das ich hineingehe, ist, was eine ideale Fensterlänge ist, die mit etwas zwischen 4-8 Datenpunkten spielt. Ndash NeoZenith Jun 29 16 um 8:00 Neo Ihre beste Wette kann sein, mit einer Teilmenge Ihrer Daten zu experimentieren und bestätigen Sie Ihre Schlussfolgerungen mit Tests auf dem Rest. Sie könnten auch eine formellere Cross-Validierung durchführen (aber aufgrund der Interdependenz aller Werte ist besondere Aufmerksamkeit mit Zeitreihendaten erforderlich). Ndash w huber 9830 Jun 29 16 at 12:10 (Diese Antwort antwortete auf eine doppelte (jetzt geschlossene) Frage bei Erkennung von herausragenden Ereignissen, die einige Daten in grafischer Form vorstellten.) Die Ausreißererkennung hängt von der Art der Daten und von dem ab, was du bist Sind bereit, über sie zu übernehmen. Allzweck-Methoden beruhen auf robusten Statistiken. Der Geist dieses Ansatzes besteht darin, den Großteil der Daten in einer Weise zu charakterisieren, die nicht von Ausreißern beeinflusst wird und dann auf irgendwelche individuellen Werte hinweist, die nicht in diese Charakterisierung passen. Weil dies eine Zeitreihe ist, fügt es die Komplikation hinzu, um die Ausreißer laufend zu ermitteln. Wenn dies geschehen soll, wenn die Serie entfaltet ist, dann dürfen wir nur ältere Daten für die Erkennung verwenden, nicht zukünftige Daten. Darüber hinaus möchten wir als Schutz gegen die vielen wiederholten Tests eine Methode verwenden, die eine sehr niedrige falsche hat Positive Rate. Diese Überlegungen schlagen vor, einen einfachen, robusten bewegten Fensterausreißertest über die Daten zu führen. Es gibt viele Möglichkeiten, aber eine einfache, leicht verständliche und leicht umsetzbare basiert auf einer laufenden MAD: median absolute Abweichung vom Median. Dies ist ein stark robustes Maß an Variation innerhalb der Daten, verglichen mit einer Standardabweichung. Eine ausgedehnte Spitze wäre mehrere MADs oder mehr größer als der Median. Es gibt noch etwas Tuning. Wie viel von einer Abweichung von der Masse der Daten sollte als outlying und wie weit zurück in der Zeit sollte man aussehen Lets verlassen diese als Parameter für Experimente. Heres a R-Implementierung auf Daten x (1,2, ldots, n) angewendet (mit n1150, um die Daten zu emulieren) mit entsprechenden Werten y: Angewendet auf einen Datensatz wie die in der Frage dargestellte rote Kurve ergibt sich das Ergebnis: Die Daten Sind rot dargestellt, das 30-Tage-Fenster von median5MAD-Schwellen in grau und die Ausreißer - die sind einfach die Datenwerte über der grauen Kurve - in schwarz. (Die Schwelle kann nur am Ende des Anfangsfensters berechnet werden. Für alle Daten innerhalb dieses Anfangsfensters wird die erste Schwelle verwendet: Das ist der Grund, warum die graue Kurve zwischen x0 und x30 flach ist.) Die Auswirkungen der Änderung der Parameter sind (A) Erhöhung des Wertes des Fensters neigt dazu, die graue Kurve zu glätten und (b) die Erhöhung der Schwelle erhöht die graue Kurve. Wenn man das kennt, kann man ein erstes Segment der Daten nehmen und schnell die Werte der Parameter identifizieren, die die auslaufenden Peaks am besten aus dem Rest der Daten teilen. Wenden Sie diese Parameterwerte an, um den Rest der Daten zu überprüfen. Wenn ein Diagramm zeigt, dass sich die Methode im Laufe der Zeit verschlechtert, bedeutet dies, dass sich die Daten der Daten ändern und die Parameter möglicherweise neu eingestellt werden müssen. Beachten Sie, wie wenig diese Methode von den Daten übernimmt: Sie müssen nicht normal verteilt sein, sie müssen keine Periodizität ausstellen, die sie nicht einmal nicht negativ sein müssen. Alles, was davon ausgeht, ist, dass sich die Daten in angemessener Weise über die Zeit verhalten und dass die äußeren Peaks sichtbar höher sind als der Rest der Daten. Wenn jemand experimentieren möchte (oder eine andere Lösung mit dem hier angebotenen vergleichen), hier ist der Code, den ich verwendet habe, um Daten wie die in der Frage gezeigten zu produzieren. Ich vermute, anspruchsvolle Zeitreihe Modell wird nicht für Sie arbeiten, weil der Zeit, die es braucht, um Ausreißer mit dieser Methode zu erkennen. Daher ist hier ein Workaround: Erstens eine Basislinie normalen Verkehrsmuster für ein Jahr auf der Grundlage der manuellen Analyse der historischen Daten, die für die Zeit des Tages, Wochentag vs Wochenende, Monat des Jahres etc. verwenden. Verwenden Sie diese Grundlinie zusammen mit einigen einfachen Mechanismus (ZB gleitender Durchschnitt von Carlos vorgeschlagen), um Ausreißer zu erkennen. Sie können auch die statistische Prozesskontrollliteratur für einige Ideen überprüfen. Ja, das ist genau das, was ich tue: bis jetzt habe ich das Signal manuell in Perioden aufgeteilt, so dass für jeden von ihnen kann ich ein Konfidenzintervall definieren, in dem das Signal stationär sein soll, und deshalb kann ich Standardmethoden verwenden Als Standardabweichung. Das eigentliche Problem ist, dass ich das erwartete Muster für alle Signale, die ich zu analysieren habe, nicht entscheiden kann, und warum suchst du etwas Intelligenteres. Ndash gianluca Aug 2 10 at 21:37 Hier ist eine Idee: Schritt 1: Implementieren und Schätzen eines generischen Zeitreihenmodells auf einer einmaligen Basis basierend auf historischen Daten. Dies kann offline erfolgen. Schritt 2: Verwenden Sie das resultierende Modell, um Ausreißer zu erkennen. Schritt 3: Bei einer gewissen Frequenz (vielleicht jeden Monat) das Zeitreihenmodell neu kalibrieren (dies kann offline geschehen), so dass Ihr Schritt 2 Erkennung von Ausreißern nicht zu viel aus dem Schritt mit aktuellen Verkehrsmustern geht. Würde das für deinen Kontext arbeiten ndash user28 Aug 2 10 um 22:24 Ja, das könnte funktionieren. Ich dachte an einen ähnlichen Ansatz (Replizierung der Grundlinie jede Woche, die CPU-intensiv sein kann, wenn Sie Hunderte von univariate Zeitreihen zu analysieren haben). BTW die echte schwierige Frage ist quotwhat ist der beste Blackbox-Stil Algorithmus für die Modellierung eines völlig generischen Signal, unter Berücksichtigung von Lärm, Trend Schätzung und Saisonalität. AFAIK, jeder Ansatz in der Literatur erfordert eine wirklich harte quotparameter tuningquot Phase, und die einzige automatische Methode, die ich gefunden habe, ist ein ARIMA Modell von Hyndman (robjhyndmansoftwareforecast). Bin ich vermisse etwas ndash gianluca Auch hier geht es gut gut, wenn das Signal soll eine Saisonalität wie das haben, aber wenn ich eine ganz andere Zeitreihe (dh die durchschnittliche TCP Rundreise Zeit im Laufe der Zeit verwenden ), Wird diese Methode nicht funktionieren (da es besser wäre, diese mit einem einfachen globalen Mittelwert und Standardabweichung mit einem Schiebefenster mit historischen Daten zu behandeln). Wenn Sie bereit sind, ein allgemeines Zeitreihenmodell (das in seine Nachteile in Bezug auf Latenz usw. bringt) zu implementieren, bin ich pessimistisch, dass Sie eine allgemeine Implementierung finden, die zur gleichen Zeit einfach genug ist. Deutsch:. Englisch: v3.espacenet. com/textdoc? DB = EPODOC & ... PN = Für alle möglichen Zeitreihen arbeiten. Ndash user28 Aug 2 10 at 22:06 Ein weiterer Kommentar: Ich kenne eine gute Antwort könnte auch sein, du könntest die Periodizität des Signals abschätzen und den Algorithmus nach itquot entscheiden, aber ich habe keine echte gute Lösung für dieses andere gefunden Problem (ich spielte ein bisschen mit Spektralanalyse mit DFT und Zeitanalyse mit der Autokorrelationsfunktion, aber meine Zeitreihe enthält viel Lärm und solche Methoden geben einige verrückte Ergebnisse die meisten der Zeit) ndash gianluca Aug 2 10 um 22:06 A Kommentieren Sie zu Ihrem letzten Kommentar: that39s warum I39m auf der Suche nach einem generischeren Ansatz, aber ich brauche eine Art von quadratischen boxquot, weil ich canuldt irgendeine Annahme über das analysierte Signal machen kann, und deshalb kann ich den Questsatz für den Lernalgorithmus erstellen. Ndash gianluca Aug 2 10 at 22:09 Da es sich um eine Zeitreihe handelt, wird ein einfacher Exponentialfilter en. wikipedia. orgwikiExponentialsmoothing die Daten glätten. Es ist ein sehr guter Filter, da Sie nicht brauchen, um alte Datenpunkte zu akkumulieren. Vergleichen Sie jeden neu geglätteten Datenwert mit seinem ungehinderten Wert. Sobald die Abweichung eine bestimmte vordefinierte Schwelle überschreitet (je nachdem, was Sie glauben, dass ein Ausreißer in Ihren Daten ist), dann kann Ihr Ausreißer leicht erkannt werden. Beantwortet Apr 30 15 at 8:50 Du könntest die Standardabweichung der letzten N Messungen verwenden (du musst eine passende N auswählen). Eine gute Anomalie Ergebnis wäre, wie viele Standardabweichungen eine Messung aus dem gleitenden Durchschnitt ist. Beantwortet am 2. August 10 um 20:48 Vielen Dank für Ihre Antwort, aber was ist, wenn das Signal eine hohe Saisonalität aufweist (dh viele Netzwerkmessungen zeichnen sich durch ein tägliches und wöchentliches Muster zur gleichen Zeit aus, zB Nacht vs Tag oder Wochenende Vs Arbeitstage) Ein Ansatz, der auf Standardabweichung basiert, funktioniert in diesem Fall nicht. Ndash gianluca Zum Beispiel, wenn ich eine neue Probe alle 10 Minuten zu bekommen, und I39m eine Ausreißer Erkennung der Netzwerk-Bandbreite Nutzung eines Unternehmens, im Grunde um 18 Uhr diese Maßnahme wird fallen (dies ist ein erwartet Ein total normales Muster), und eine Standardabweichung, die über ein Schiebefenster berechnet wird, wird fehlschlagen (weil es eine Warnung sicher auslöst). Zur gleichen Zeit, wenn die Maßnahme um 4pm abfällt (abweichend von der üblichen Grundlinie), ist dies ein echter Ausreißer. Ndash gianluca Was ich tue, gruppiere die Messungen um Stunde und Wochentag und vergleiche Standardabweichungen davon. Immer noch nicht korrigieren Dinge wie Feiertage und Sommerwinter Saisonalität aber seine korrekte die meiste Zeit. Der Nachteil ist, dass Sie wirklich brauchen, um ein Jahr oder so von Daten zu sammeln, um genug zu sammeln, damit stddev beginnt Sinn zu machen. Spektralanalyse erkennt Periodizität in stationären Zeitreihen. Der Frequenzbereich Ansatz auf der Grundlage der spektralen Dichte Schätzung ist ein Ansatz, den ich als Ihren ersten Schritt empfehlen würde. Wenn für bestimmte Perioden Unregelmäßigkeit eine viel höhere Spitze als für diese Zeit typisch ist, dann wäre die Reihe mit solchen Unregelmäßigkeiten nicht stationär und die spektrale Anlsyse wäre nicht angemessen. Aber vorausgesetzt, Sie haben die Periode identifiziert, die die Unregelmäßigkeiten aufweist, die Sie in der Lage sein sollten, ungefähr zu bestimmen, was die normale Höhepunkthöhe sein würde, und kann dann eine Schwelle auf irgendeinem Niveau über diesem Durchschnitt setzen, um die unregelmäßigen Fälle zu bezeichnen. Antwortete am 3. September um 14:59 Ich schlage vor, das Schema unten, die sollte implementiert werden in einem Tag oder so: Sammeln Sie so viele Samples, wie Sie im Speicher halten können Entfernen Sie offensichtliche Ausreißer mit der Standardabweichung für jedes Attribut Berechnen und speichern Sie die Korrelationsmatrix Und auch der Mittelwert jedes Attributes Berechnen und speichern Sie die Mahalanobis Entfernungen aller Ihrer Proben Berechnen Ausreißer: Für die einzelne Probe, von der Sie wissen wollen, ihre Ausreißer: Abrufen der Mittel, Kovarianz Matrix und Mahalanobis Abstand s aus der Ausbildung Berechnen Sie die Mahalanobis Abstand d Für deine Probe Rückgabe des Perzentils, in dem d fällt (unter Verwendung der Mahalanobis-Distanzen vom Training) Das wird dein Outlier-Score sein: 100 ist ein extremer Ausreißer. PS Bei der Berechnung der Mahalanobis Entfernung. Verwenden Sie die Korrelationsmatrix, nicht die Kovarianzmatrix. Dies ist robuster, wenn die Probenmessungen in Einheit und Anzahl variieren. Slidehare verwendet Cookies, um Funktionalität und Leistung zu verbessern und Ihnen relevante Werbung zu bieten. Wenn Sie die Seite weiter durchsuchen, stimmen Sie der Verwendung von Cookies auf dieser Website zu. Siehe unsere Benutzervereinbarung und Datenschutzbestimmungen. Slideshare verwendet Cookies, um Funktionalität und Leistung zu verbessern und Ihnen relevante Werbung zu bieten. Wenn Sie die Seite weiter durchsuchen, stimmen Sie der Verwendung von Cookies auf dieser Website zu. Weitere Informationen finden Sie in unserer Datenschutzerklärung und Benutzervereinbarung. Entdecken Sie alle Ihre Lieblingsthemen in der SlideShare App Holen Sie sich die SlideShare App, um für später zu speichern, auch offline Weiter zur mobilen Website Upload Login Signup Double tippen, um zu verkleinern Time Series Teilen Sie diese SlideShare LinkedIn Corporation Kopie 2017Using R für Zeitreihenanalyse Zeitreihenanalyse Dies Booklet sagt Ihnen, wie Sie die R-statistische Software verwenden, um einige einfache Analysen durchzuführen, die bei der Analyse von Zeitreihendaten üblich sind. Diese Broschüre geht davon aus, dass der Leser einige Grundkenntnisse der Zeitreihenanalyse hat und der Schwerpunkt der Broschüre ist nicht, die Zeitreihenanalyse zu erläutern, sondern vielmehr zu erklären, wie diese Analysen mit R durchgeführt werden können. Wenn Sie neu in der Zeitreihe sind Analyse und möchten mehr über irgendwelche der hier vorgestellten Konzepte erfahren, empfehle ich das Open University Buch 8220Time series8221 (Produktcode M24902), erhältlich ab dem Open University Shop. In dieser Broschüre verwende ich Zeitreihen-Datensätze, die von Rob Hyndman in seiner Time Series Data Library bei robjhyndmanTSDL freundlich zur Verfügung gestellt wurden. Wenn Sie diese Broschüre mögen, können Sie auch gern meine Broschüre über die Verwendung von R für biomedizinische Statistiken, a-luch-of-for-biomedical-statistics. readthedocs. org. Und meine Broschüre über die Verwendung von R für multivariate Analysen, kleine-Mon-für-Multivariate-analysis. readthedocs. org. Lesen von Zeitreihen-Daten Das erste, was Sie tun möchten, um Ihre Zeitreihendaten zu analysieren, wird es sein, es in R zu lesen und die Zeitreihen zu zeichnen. Sie können die Daten in R mit der Funktion scan () lesen, die davon ausgeht, dass sich Ihre Daten für aufeinanderfolgende Zeitpunkte in einer einfachen Textdatei mit einer Spalte befinden. Zum Beispiel enthält die Datei robjhyndmantsdldatamisckings. dat Daten über das Alter des Todes der aufeinanderfolgenden Könige von England, beginnend mit William der Eroberer (ursprüngliche Quelle: Hipel und Mcleod, 1994). Der Datensatz sieht so aus: Nur die ersten Zeilen der Datei wurden angezeigt. Die ersten drei Zeilen enthalten einen Kommentar zu den Daten, und wir wollen dies ignorieren, wenn wir die Daten in R lesen. Wir können dies verwenden, indem wir den Parameter 8220skip8221 der scan () - Funktion verwenden, der angibt, wie viele Zeilen an der Oberseite von Die Datei zu ignorieren. Um die Akte in R zu lesen, die ersten drei Zeilen zu ignorieren, geben wir an: In diesem Fall wurde das Todesalter von 42 aufeinanderfolgenden Königen von England in die Variable 8216kings8217 eingelesen. Sobald Sie die Zeitreihendaten in R gelesen haben, ist der nächste Schritt, die Daten in einem Zeitreihenobjekt in R zu speichern, damit Sie R8217s viele Funktionen zur Analyse von Zeitreihendaten verwenden können. Um die Daten in einem Zeitreihenobjekt zu speichern, verwenden wir die Funktion ts () in R. Um beispielsweise die Daten in der Variablen 8216kings8217 als Zeitreihenobjekt in R zu speichern, geben wir an: Manchmal legen die Zeitreihendaten fest Können in regelmäßigen Abständen gesammelt worden sein, die weniger als ein Jahr waren, zum Beispiel monatlich oder vierteljährlich. In diesem Fall können Sie die Anzahl der Daten festlegen, die Daten pro Jahr gesammelt wurden, indem Sie den Parameter 8216frequency8217 in der Funktion ts () verwenden. Für monatliche Zeitreihendaten setzen Sie die Frequenz12, während für vierteljährliche Zeitreihendaten die Frequenz4 eingestellt ist. Sie können auch das erste Jahr angeben, in dem die Daten gesammelt wurden, und das erste Intervall in diesem Jahr, indem Sie den Parameter 8216start8217 in der Funktion ts () verwenden. Zum Beispiel, wenn der erste Datenpunkt dem zweiten Quartal 1986 entspricht, würden Sie startc (1986,2) setzen. Ein Beispiel ist ein Datensatz der Anzahl der Geburten pro Monat in New York City, von Januar 1946 bis Dezember 1959 (ursprünglich von Newton gesammelt). Diese Daten sind in der Datei vorhanden robjhyndmantsdldatadatanybirths. dat Wir können die Daten in R lesen und als Zeitreihenobjekt speichern, indem wir folgendes eingeben: Ähnlich enthält die Datei robjhyndmantsdldatadatafancy. dat monatliche Verkäufe für einen Souvenirshop an einem Badeort in Queensland, Australien, für Januar 1987 - Dezember 1993 (Originaldaten von Wheelwright und Hyndman, 1998). Wir können die Daten in R lesen, indem wir schreiben: Plotten-Zeitreihen Sobald Sie eine Zeitreihe in R gelesen haben, ist der nächste Schritt in der Regel eine Aufstellung der Zeitreihendaten, die Sie mit der Funktion plot. ts () machen können In R. Zum Beispiel, um die Zeitreihen des Todes des Todes von 42 aufeinanderfolgenden Königen von England zu zeichnen, geben wir: Wir können aus der Zeitpläne sehen, dass diese Zeitreihe wahrscheinlich mit einem additiven Modell beschrieben werden könnte, da die zufälligen Schwankungen In den Daten sind etwa konstant in der Größe über die Zeit. Ebenso, um die Zeitreihen der Anzahl der Geburten pro Monat in der New Yorker Stadt zu zeichnen, geben wir: Wir können aus dieser Zeitreihe sehen, dass es saisonale Unterschiede in der Anzahl der Geburten pro Monat gibt: Es gibt einen Höhepunkt jeden Sommer , Und ein Trog jeden Winter. Wieder scheint es, dass diese Zeitreihe wahrscheinlich mit einem additiven Modell beschrieben werden könnte, da die saisonalen Schwankungen im Laufe der Zeit etwa konstant sind und sich nicht auf das Niveau der Zeitreihen verlassen und die zufälligen Schwankungen auch zu sein scheinen Etwa konstant in der Größe über die Zeit. Ähnlich, um die Zeitreihen der monatlichen Verkäufe für den Souvenir-Shop an einem Strand-Ferienort in Queensland, Australien zu zeichnen, geben wir an: In diesem Fall scheint es, dass ein additives Modell nicht geeignet ist, diese Zeitreihe zu beschreiben, da die Größe Der saisonalen Schwankungen und zufälligen Schwankungen scheinen mit dem Niveau der Zeitreihe zu erhöhen. So können wir die Zeitreihen umwandeln, um eine transformierte Zeitreihe zu erhalten, die mit einem additiven Modell beschrieben werden kann. Zum Beispiel können wir die Zeitreihen umwandeln, indem wir das natürliche Protokoll der ursprünglichen Daten berechnen: Hier sehen wir, dass die Größe der saisonalen Schwankungen und zufälligen Schwankungen in den logarithmierten Zeitreihen im Laufe der Zeit etwa konstant zu sein scheinen Nicht vom Niveau der Zeitreihen abhängen Somit kann die log-transformierte Zeitreihe wahrscheinlich mit einem additiven Modell beschrieben werden. Zerlegen der Zeitreihe Die Zerlegung einer Zeitreihe bedeutet, sie in ihre Bestandteile zu zerlegen, die in der Regel eine Trendkomponente und eine unregelmäßige Komponente sind, und wenn es sich um eine saisonale Zeitreihe handelt, eine saisonale Komponente. Zerlegen von nicht saisonalen Daten Eine nicht saisonale Zeitreihe besteht aus einer Trendkomponente und einer unregelmäßigen Komponente. Das Zerlegen der Zeitreihe beinhaltet das Versuchen, die Zeitreihen in diese Komponenten zu trennen, dh die Trendkomponente und die unregelmäßige Komponente zu schätzen. Zur Abschätzung der Trendkomponente einer nicht-saisonalen Zeitreihe, die mit einem additiven Modell beschrieben werden kann, ist es üblich, ein Glättungsverfahren zu verwenden, wie beispielsweise das Berechnen des einfachen gleitenden Durchschnitts der Zeitreihen. Die SMA () - Funktion im Paket 8220TTR8221 R kann verwendet werden, um Zeitreihendaten mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt zu glätten. Um diese Funktion nutzen zu können, müssen wir zuerst das Paket 8220TTR8221 R installieren (Anleitungen zur Installation eines R-Pakets finden Sie unter So installieren Sie ein R-Paket). Sobald Sie das Paket 8220TTR8221 R installiert haben, können Sie das Paket 8220TTR8221 R laden, indem Sie Folgendes eingeben: Sie können dann die Funktion 8220SMA () 8221 verwenden, um Zeitreihendaten zu verkleinern. Um die Funktion SMA () zu verwenden, müssen Sie mit dem Parameter 8220n8221 die Reihenfolge (Spanne) des einfachen gleitenden Durchschnitts angeben. Um beispielsweise einen einfachen gleitenden Durchschnitt von Ordnung 5 zu berechnen, setzen wir n5 in die Funktion SMA (). Zum Beispiel, wie oben diskutiert, ist die Zeitreihe des Todesalter von 42 aufeinanderfolgenden Königen von England nicht saisonal und kann vermutlich unter Verwendung eines additiven Modells beschrieben werden, da die zufälligen Schwankungen in den Daten in etwa größer sind Zeit: So können wir versuchen, die Trendkomponente dieser Zeitreihe durch Glättung mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt zu schätzen. Um die Zeitreihen mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt von Ordnung 3 zu glätten und die geglätteten Zeitreihendaten zu zeichnen, geben wir: Es gibt immer noch ziemlich viele zufällige Schwankungen in der Zeitreihe, die mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt der Ordnung 3 geglättet wurde. Um also die Trendkomponente genauer abzuschätzen, möchten wir vielleicht versuchen, die Daten mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt höherer Ordnung zu glätten. Das braucht ein bisschen Test-und-Fehler, um die richtige Menge an Glättung zu finden. Zum Beispiel können wir mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt von Ordnung 8 versuchen: Die Daten, die mit einem einfachen gleitenden Durchschnitt von Ordnung 8 geglättet wurden, geben ein klareres Bild der Trendkomponente, und wir können sehen, dass das Alter des Todes der englischen Könige zu sein scheint Haben sich von etwa 55 Jahre alt auf etwa 38 Jahre alt während der Herrschaft der ersten 20 Könige, und dann erhöht, um bis etwa 73 Jahre alt am Ende der Herrschaft des 40. Königs in der Zeitreihe. Zerlegen saisonale Daten Eine saisonale Zeitreihe besteht aus einer Trendkomponente, einer saisonalen Komponente und einer unregelmäßigen Komponente. Das Zerlegen der Zeitreihe bedeutet, die Zeitreihe in diese drei Komponenten zu trennen, dh die Schätzung dieser drei Komponenten. Um die Trendkomponente und die saisonale Komponente einer saisonalen Zeitreihe, die mit einem additiven Modell beschrieben werden kann, abzuschätzen, können wir die Funktion 8220decompose () 8221 in R verwenden. Diese Funktion schätzt die Trend-, Saison - und unregelmäßigen Komponenten einer Zeitreihe, die Kann mit einem additiven Modell beschrieben werden. Die Funktion 8220decompose () 8221 gibt ein Listenobjekt als Ergebnis zurück, wobei die Schätzungen der Saisonkomponente, der Trendkomponente und der unregelmäßigen Komponente in benannten Elementen dieser Listenobjekte, z. B. 8220seasonal8221, 8220trend8221 und 8220random8221, gespeichert sind. Zum Beispiel, wie oben diskutiert, ist die Zeitreihe der Anzahl der Geburten pro Monat in New York City saisonal mit einem Höhepunkt jeden Sommer und Trog jeden Winter, und kann wahrscheinlich mit einem additiven Modell beschrieben werden, da die saisonalen und zufälligen Schwankungen zu sein scheinen Im Laufe der Zeit grob konstant sein: Um den Trend, die saisonalen und unregelmäßigen Komponenten dieser Zeitreihe abzuschätzen, geben wir: Die geschätzten Werte der saisonalen, trend - und unregelmäßigen Komponenten werden nun in Variablen gebunden. GeburtsstundenerzeugnisseKomponentenseasonal, Geburtsstadiencomponentstrend und GeburtsstämmeKomponenten. Zum Beispiel können wir die geschätzten Werte der Saisonkomponente ausdrucken, indem wir folgendes eingeben: Die geschätzten saisonalen Faktoren werden für die Monate Januar bis Dezember angegeben und sind für jedes Jahr gleich. Der größte saisonale Faktor ist für Juli (ca. 1,46), und der niedrigste ist für Februar (ca. -2,08), was darauf hindeutet, dass es einen Höhepunkt in den Geburten im Juli und einen Trog in Geburten im Februar jedes Jahr zu sein scheint. Wir können die geschätzten Trend-, Saison - und unregelmäßigen Komponenten der Zeitreihen mit der Funktion 8220plot () 8221 aufführen: Die obige Darstellung zeigt die ursprüngliche Zeitreihe (oben), die geschätzte Trendkomponente (zweites von oben), Die geschätzte saisonale Komponente (dritter von oben) und die geschätzte unregelmäßige Komponente (unten). Wir sehen, dass die geschätzte Trendkomponente einen kleinen Rückgang von etwa 24 im Jahr 1947 auf etwa 22 im Jahr 1948 zeigt, gefolgt von einem stetigen Anstieg von dann auf etwa 27 im Jahr 1959. Saisonale Anpassung Wenn Sie eine saisonale Zeitreihen, die beschrieben werden können Ein additives Modell, können Sie saisonabhängig die Zeitreihen durch Schätzen der saisonalen Komponente und subtrahieren die geschätzte saisonale Komponente aus der ursprünglichen Zeitreihe. Wir können dies mit der Schätzung der saisonalen Komponente berechnen, die durch die Funktion 8220decompose () 8221 berechnet wird. Zum Beispiel, um die Zeitreihen der Anzahl der Geburten pro Monat in New York City saisonal anzupassen, können wir die saisonale Komponente mit 8220decompose () 8221 abschätzen und dann die saisonale Komponente aus der ursprünglichen Zeitreihe subtrahieren: Wir können dann die Saisonbereinigte Zeitreihen mit der Funktion 8220plot () 8221, durch Eingabe: Sie können sehen, dass die saisonale Variation aus der saisonbereinigten Zeitreihe entfernt wurde. Die saisonbereinigte Zeitreihe enthält nun nur die Trendkomponente und eine unregelmäßige Komponente. Prognosen mit exponentieller Glättung Exponentielle Glättung kann verwendet werden, um kurzfristige Prognosen für Zeitreihendaten zu machen. Einfache exponentielle Glättung Wenn Sie eine Zeitreihe haben, die mit einem additiven Modell mit konstantem Niveau und ohne Saisonalität beschrieben werden kann, können Sie einfache, exponentielle Glättung verwenden, um kurzfristige Prognosen zu machen. Das einfache exponentielle Glättungsverfahren bietet eine Möglichkeit, den Pegel zum aktuellen Zeitpunkt zu schätzen. Die Glättung wird durch den Parameter alpha für die Schätzung des Pegels zum aktuellen Zeitpunkt gesteuert. Der Wert von alpha liegt zwischen 0 und 1. Werte von alpha, die nahe bei 0 sind, bedeutet, dass bei der Erstellung von Prognosen zukünftiger Werte wenig Gewicht auf die aktuellsten Beobachtungen gelegt wird. Zum Beispiel enthält die Datei robjhyndmantsdldatahurstprecip1.dat insgesamt jährlichen Niederschlag in Zoll für London, von 1813-1912 (Original-Daten von Hipel und McLeod, 1994). Wir können die Daten in R lesen und sie mit der Eingabe eingeben: Sie können aus der Handlung sehen, dass es annähernd konstant ist (der Mittelwert bleibt bei etwa 25 Zoll konstant). Die zufälligen Schwankungen in den Zeitreihen scheinen im Laufe der Zeit etwa konstant zu sein, so dass es wahrscheinlich angebracht ist, die Daten mit einem additiven Modell zu beschreiben. So können wir Prognosen mit einfacher exponentieller Glättung machen. Um Prognosen mit einfacher, exponentieller Glättung in R vorzunehmen, können wir mit der Funktion 8220HoltWinters () 8221 in R ein einfaches exponentielles Glättungsprädiktionsmodell platzieren. Um eine einfache, exponentielle Glättung von HoltWinters () zu verwenden, müssen wir die Parameter betaFALSE und gammaFALSE in die HoltWinters () - Funktion (die Beta - und Gamma-Parameter werden für Holt8217s exponentielle Glättung oder Holt-Winters exponentielle Glättung verwendet, wie unten beschrieben). Die Funktion HoltWinters () gibt eine Listenvariable zurück, die mehrere benannte Elemente enthält. Zum Beispiel, um eine einfache exponentielle Glättung zu verwenden, um Prognosen für die Zeitreihen des jährlichen Niederschlags in London zu machen, geben wir an: Die Ausgabe von HoltWinters () sagt uns, dass der Schätzwert des Alpha-Parameters etwa 0,024 beträgt. Dies ist sehr nahe bei null und sagt uns, dass die Prognosen auf den jüngsten und weniger jüngsten Beobachtungen beruhen (obwohl etwas mehr Gewicht auf die jüngsten Beobachtungen gelegt wird). Standardmäßig stellt HoltWinters () nur Prognosen für den gleichen Zeitraum dar, der von unseren ursprünglichen Zeitreihen abgedeckt ist. In diesem Fall war unsere ursprüngliche Zeitreihe Regenfälle für London von 1813-1912, also sind die Prognosen auch für 1813-1912. Im obigen Beispiel haben wir die Ausgabe der Funktion HoltWinters () in der Listenvariablen 8220rainseriesforecasts8221 gespeichert. Die Prognosen von HoltWinters () werden in einem benannten Element dieser Listenvariablen namens 8220fitted8221 gespeichert, so dass wir ihre Werte durch Eingabe erhalten können: Wir können die ursprüngliche Zeitreihe gegen die Prognosen zeichnen, indem wir folgendes eingeben: Das Diagramm zeigt die ursprüngliche Zeitreihe an Schwarz, und die Prognosen als rote Linie. Die Zeitreihe der Prognosen ist viel glatter als die Zeitreihen der Originaldaten hier. Als Maß für die Genauigkeit der Prognosen können wir die Summe der quadratischen Fehler für die Prognosefehler in der Stichprobe berechnen, dh die Prognosefehler für den Zeitraum, der von unseren ursprünglichen Zeitreihen abgedeckt ist. Die Summe von quadratischen Fehlern wird in einem benannten Element der Listenvariablen 8220rainseriesforecasts8221 mit dem Namen 8220SSE8221 gespeichert, so dass wir ihren Wert durch Eingabe erhalten können: Das ist hier die Summe von quadratischen Fehlern ist 1828.855. Es ist üblich, in einfacher exponentieller Glättung den ersten Wert in der Zeitreihe als Anfangswert für den Pegel zu verwenden. Zum Beispiel, in der Zeitreihe für Niederschläge in London, ist der erste Wert 23,56 (Zoll) für Niederschlag im Jahre 1813. Sie können den Anfangswert für den Level in der HoltWinters () - Funktion mit dem Parameter 8220l. start8221 angeben. Um beispielsweise Vorhersagen mit dem Anfangswert des auf 23.56 eingestellten Pegels zu setzen, geben wir Folgendes ein: Wie oben erläutert, stellt HoltWinters () standardmäßig Prognosen für den von den Originaldaten abgedeckten Zeitraum ein, der für den Niederschlag 1813-1912 beträgt Zeitfolgen. Wir können Prognosen für weitere Zeitpunkte erstellen, indem wir die Funktion 8220forecast. HoltWinters () 8221 im Paket R 8220forecast8221 verwenden. Um die Funktion forecast. HoltWinters () zu verwenden, müssen wir zuerst das Paket 8220forecast8221 R installieren (Anweisungen zur Installation eines R-Pakets finden Sie unter Installieren eines R-Pakets). Sobald Sie das Paket 8220forecast8221 R installiert haben, können Sie das Paket 8220forecast8221 R laden, indem Sie Folgendes eingeben: Wenn Sie die Funktion forecast. HoltWinters () als erstes Argument (Eingabe) verwenden, übergeben Sie das Vorhersagemodell, das Sie bereits mit dem HoltWinters () Funktion. Zum Beispiel haben wir im Fall der Regenzeit-Zeitreihen das Vorhersagemodell unter Verwendung von HoltWinters () in der Variablen 8220rainseriesforecasts8221 gespeichert. Sie geben an, wie viele weitere Zeitpunkte Sie Prognosen für die Verwendung des Parameters 8220h8221 in forecast. HoltWinters () vornehmen möchten. Zum Beispiel, um eine Prognose der Niederschläge für die Jahre 1814-1820 (8 weitere Jahre) mit Prognose. HoltWinters (), geben wir: Die Prognose. HoltWinters () - Funktion gibt Ihnen die Prognose für ein Jahr, ein 80 Vorhersage Intervall für Die Prognose und ein Vorhersageintervall von 95 für die Prognose. Zum Beispiel beträgt der prognostizierte Niederschlag für 1920 etwa 24,68 Zoll, mit einem 95 Vorhersageintervall von (16.24, 33.11). Um die Vorhersagen zu erstellen, die von prognose gemacht wurden. HoltWinters (), können wir die Funktion 8220plot. forecast () 8221 verwenden: Hier werden die Prognosen für 1913-1920 als eine blaue Linie, das 80-Vorhersageintervall als orangefarbener schattierter Bereich und die 95 Vorhersageintervall als gelber schattierter Bereich. Die gemessenen Fehler8217 werden als die beobachteten Werte minus vorhergesagten Werte für jeden Zeitpunkt berechnet. Wir können nur die Prognosefehler für den Zeitraum berechnen, der von unseren ursprünglichen Zeitreihen abgedeckt wird, was 1813-1912 für die Niederschlagsdaten ist. Wie oben erwähnt, ist ein Maß für die Genauigkeit des prädiktiven Modells die Summe von quadratischen Fehlern (SSE) für die in-Beispiel-Prognosefehler. Die Prognosefehler werden in dem benannten Element 8220residuals8221 der Listenvariablen gespeichert, die von prognose. HoltWinters () zurückgegeben wird. Wenn das prädiktive Modell nicht verbessert werden kann, sollte es keine Korrelationen zwischen Prognosefehlern für aufeinanderfolgende Vorhersagen geben. Mit anderen Worten, wenn es Korrelationen zwischen Prognosefehlern für aufeinanderfolgende Vorhersagen gibt, ist es wahrscheinlich, dass die einfachen exponentiellen Glättungsprognosen durch eine andere Prognosetechnik verbessert werden könnten. Um herauszufinden, ob dies der Fall ist, können wir ein Korrelogramm der In-Probe-Prognosefehler für die Verzögerungen 1-20 erhalten. Wir können ein Korrelogramm der Prognosefehler mit der Funktion 8220acf () 8221 in R berechnen. Um die maximale Verzögerung anzugeben, die wir betrachten wollen, verwenden wir den Parameter 8220lag. max8221 in acf (). Um zum Beispiel ein Korrelogramm der In-Probe-Prognosefehler für die Londoner Niederschlagsdaten für die Verzögerungen von 1-20 zu berechnen, geben wir aus dem Beispiel-Korrelogramm heraus, dass die Autokorrelation bei lag 3 nur die Signifikanzgrenzen berührt. Um zu testen, ob es signifikante Hinweise auf Nicht-Null-Korrelationen bei den Verzögerungen von 1-20 gibt, können wir einen Ljung-Box-Test durchführen. Dies kann in R mit der Funktion 8220Box. test () 8221 erfolgen. Die maximale Verzögerung, die wir betrachten möchten, wird mit dem Parameter 8220lag8221 in der Funktion Box. test () angegeben. Zum Beispiel, um zu testen, ob es keine Null-Autokorrelationen bei den Verzögerungen 1-20 gibt, für die in-Beispiel-Prognosefehler für London-Niederschlagsdaten geben wir hier ein: Hier ist die Ljung-Box-Teststatistik 17,4 und der p-Wert ist 0,6 , So gibt es wenig Hinweise auf Nicht-Null-Autokorrelationen in der in-Beispiel-Prognose Fehler bei Verzögerungen 1-20. Um sicher zu sein, dass das prädiktive Modell nicht verbessert werden kann, ist es auch eine gute Idee zu prüfen, ob die Prognosefehler normalerweise mit mittlerem Null und konstanter Varianz verteilt sind. Um zu überprüfen, ob die Prognosefehler eine konstante Varianz haben, können wir eine Zeitpläne der Prognosefehler in der Stichprobe machen: Die Handlung zeigt, dass die Prognosefehler in der Stichprobe im Laufe der Zeit eine annähernd konstante Varianz aufweisen, obwohl die Größe der Schwankungen in Der Beginn der Zeitreihe (1820-1830) kann bei späteren Terminen etwas kleiner sein (zB 1840-1850). Um zu prüfen, ob die Prognosefehler normalerweise mit dem Mittelwert Null verteilt sind, können wir ein Histogramm der Prognosefehler mit einer überlagerten Normalkurve mit mittlerer Nullpunkt und der gleichen Standardabweichung wie die Verteilung der Prognosefehler darstellen. Um dies zu tun, können wir eine R-Funktion definieren 8220plotForecastErrors () 8221, unten: Sie müssen die Funktion oben in R kopieren, um sie zu benutzen. Sie können dann plotForecastErrors () verwenden, um ein Histogramm (mit überlagerter Normalkurve) der Prognosefehler für die Niederschlagsvorhersagen darzustellen: Das Diagramm zeigt, dass die Verteilung der Prognosefehler grob auf Null ausgerichtet ist und mehr oder weniger normal verteilt ist Es scheint etwas nach rechts verkürzt zu sein, verglichen mit einer normalen Kurve. Allerdings ist die richtige Schiefung relativ klein, und so ist es plausibel, dass die Prognosefehler normalerweise mit dem mittleren Null verteilt sind. Der Ljung-Box-Test zeigte, dass es bei den Prognosefehlern in der Stichprobe nur wenige Hinweise auf Nicht-Null-Autokorrelationen gibt und die Verteilung der Prognosefehler normalerweise mit dem mittleren Nullpunkt verteilt zu sein scheint. Dies deutet darauf hin, dass die einfache exponentielle Glättung Methode bietet eine adäquate prädiktive Modell für London Niederschlag, die wahrscheinlich nicht verbessert werden kann. Darüber hinaus sind die Annahmen, dass die 80- und 95-Vorhersageintervalle auf der Grundlage von (es gibt keine Autokorrelationen in den Prognosefehlern und die Prognosefehler normalerweise mit mittlerem Null und konstanter Varianz verteilt) wahrscheinlich gültig. Holt8217s Exponentielle Glättung Wenn Sie eine Zeitreihe haben, die mit einem additiven Modell mit zunehmender oder abnehmender Tendenz und ohne Saisonalität beschrieben werden kann, können Sie Holt8217s exponentielle Glättung verwenden, um kurzfristige Prognosen zu machen. Holt8217s exponentielle Glättung schätzt den Pegel und die Steigung zum aktuellen Zeitpunkt. Die Glättung wird durch zwei Parameter, alpha, für die Schätzung des Pegels zum aktuellen Zeitpunkt und Beta für die Schätzung der Steigung b der Trendkomponente zum aktuellen Zeitpunkt gesteuert. Wie bei der einfachen exponentiellen Glättung haben die Parametern alpha und beta Werte zwischen 0 und 1, und Werte, die nahe bei 0 liegen, bedeuten, dass bei der Erstellung von Prognosen zukünftiger Werte wenig Gewicht auf die aktuellsten Beobachtungen gelegt wird. Ein Beispiel für eine Zeitreihe, die vermutlich mit einem additiven Modell mit einem Trend und ohne Saisonalität beschrieben werden kann, ist die Zeitreihe des Jahresdurchmessers der Frauen8217s Röcke am Saum von 1866 bis 1911. Die Daten sind in der Datei robjhyndmantsdldatarobertsskirts verfügbar. Dat (Originaldaten von Hipel und McLeod, 1994). Wir können die Daten in R einlesen und darlegen: Wir können aus der Handlung sehen, dass es im Jahre 1880 einen Anstieg des Saumdurchmessers von etwa 600 im Jahre 1866 auf etwa 1050 gab und danach der Saumdurchmesser im Jahre 1911 auf etwa 520 sank Um Prognosen zu erstellen, können wir mit der HoltWinters () - Funktion in R. ein Vorhersagemodell platzieren. Um HoltWinters () für die exponentielle Glättung von Holt8217s zu verwenden, müssen wir den Parameter gammaFALSE setzen (der Gamma-Parameter wird für die Exponentialglättung von Holt-Winters verwendet, wie unten beschrieben). Zum Beispiel, um Holt8217s exponentielle Glättung zu verwenden, um ein prädiktives Modell für Rock-Saum-Durchmesser zu passen, geben wir ein: Der geschätzte Wert von alpha ist 0,84 und beta ist 1,00. Diese sind beide hoch und sagen uns, dass sowohl die Schätzung des aktuellen Wertes des Niveaus als auch der Steigung b der Trendkomponente vor allem auf sehr jüngsten Beobachtungen in der Zeitreihe beruht. Das macht einen guten intuitiven Sinn, denn das Niveau und der Hang der Zeitreihen ändern sich im Laufe der Zeit sehr viel. Der Wert der Summe-quadratischen Fehler für die Prognosefehler in der Stichprobe beträgt 16954. Wir können die ursprüngliche Zeitreihe als schwarze Linie darstellen, wobei die prognostizierten Werte als rote Linie darüber liegen, indem wir folgendes eingeben: Wir Kann aus dem Bild sehen, dass die in-Beispiel-Prognosen ziemlich gut mit den beobachteten Werten übereinstimmen, obwohl sie dazu neigen, hinter den beobachteten Werten ein wenig zu liegen. Wenn Sie möchten, können Sie die Anfangswerte des Levels und der Steigung b der Trendkomponente mit den Argumenten 8220l. start8221 und 8220b. start8221 für die Funktion HoltWinters () angeben. Es ist üblich, den Anfangswert des Pegels auf den ersten Wert in der Zeitreihe (608 für die Röhrendaten) und den Anfangswert der Steigung auf den zweiten Wert abzüglich des ersten Wertes (9 für die Röhrendaten) einzustellen. Zum Beispiel, um ein Vorhersagemodell an die Rock-Saum-Daten mit Holt8217s exponentielle Glättung anzupassen, mit Anfangswerten von 608 für den Level und 9 für die Steigung b der Trendkomponente geben wir: Wie für eine einfache exponentielle Glättung können wir Prognosen machen Für zukünftige Zeiten, die nicht durch die ursprüngliche Zeitreihe abgedeckt werden, indem sie die Funktion forecast. HoltWinters () im Paket 8220forecast8221 verwenden. Zum Beispiel waren unsere Zeitreihen-Daten für Rock-Saumen für 1866 bis 1911, so dass wir Vorhersagen für 1912 bis 1930 (19 weitere Datenpunkte) machen können, und zeichnen sie, indem sie schreiben: Die Prognosen werden als eine blaue Linie gezeigt, mit der 80 Vorhersageintervalle als orangefarbener Schattenbereich und die 95 Vorhersageintervalle als gelber schattierter Bereich. Wie für eine einfache exponentielle Glättung können wir überprüfen, ob das prädiktive Modell verbessert werden könnte, indem überprüft wird, ob die Prognosefehler in der Stichprobe keine Autokorrelationen ohne Verzögerungen bei den Verzögerungen von 1 bis 20 zeigen. Zum Beispiel können wir für die Rock-Saum-Daten ein Korrelogramm durchführen und den Ljung-Box-Test durchführen, indem wir folgendes eingeben: Hier zeigt das Korrelogramm, dass die Stichproben-Autokorrelation für die Prozeßprognosefehler bei Verzögerung 5 die Signifikanzgrenzen übersteigt. Allerdings würden wir erwarten, dass einer in 20 der Autokorrelationen für die ersten zwanzig Verzögerungen die 95 Bedeutungsgrenzen durch Zufall allein überschreiten würde. In der Tat, wenn wir den Ljung-Box-Test durchführen, ist der p-Wert 0,47, was darauf hinweist, dass es wenig Hinweise auf Nicht-Null-Autokorrelationen in den Prognosefehlern bei den Stichproben 1-20 gibt. Für eine einfache exponentielle Glättung sollten wir auch prüfen, ob die Prognosefehler im Laufe der Zeit eine ständige Varianz aufweisen und normalerweise mit dem mittleren Nullpunkt verteilt sind. Wir können dies tun, indem wir eine Zeitpläne von Prognosefehlern und ein Histogramm der Verteilung von Prognosefehlern mit einer überlagerten Normalkurve machen: Die Zeitpläne von Prognosefehlern zeigen, dass die Prognosefehler im Vergleich zu der Zeit eine annähernd konstante Varianz aufweisen. Das Histogramm der Prognosefehler zeigt, dass es plausibel ist, dass die Prognosefehler normalerweise mit mittlerer Null und konstanter Varianz verteilt sind. So zeigt der Ljung-Box-Test, dass es bei den Prognosefehlern wenig Hinweise auf Autokorrelationen gibt, während die Zeitplot und das Histogramm der Prognosefehler zeigen, dass es plausibel ist, dass die Prognosefehler normalerweise mit mittlerer Null und konstanter Varianz verteilt sind. Daher können wir schließen, dass Holt8217s exponentielle Glättung ein adäquates Vorhersagemodell für Rock-Saumdurchmesser liefert, was wohl nicht verbessert werden kann. Darüber hinaus bedeutet dies, dass die Annahmen, dass die 80 und 95 Vorhersagen Intervalle auf basieren, wahrscheinlich gültig sind. Holt-Winters Exponentielle Glättung Wenn Sie eine Zeitreihe haben, die mit einem additiven Modell mit zunehmender oder abnehmender Tendenz und Saisonalität beschrieben werden kann, können Sie Holt-Winters exponentielle Glättung verwenden, um kurzfristige Prognosen zu machen. Holt-Winters exponentielle Glättung schätzt das Niveau, die Steigung und die saisonale Komponente zum aktuellen Zeitpunkt. Die Glättung wird durch drei Parameter gesteuert: alpha, beta und gamma, für die Schätzungen des Levels, der Steigung b der Trendkomponente und der saisonalen Komponente zum aktuellen Zeitpunkt. Die Parameter alpha, beta und gamma haben alle Werte zwischen 0 und 1, und Werte, die nahe bei 0 liegen, bedeuten, dass bei der Vorhersage zukünftiger Werte relativ wenig Gewicht auf die aktuellsten Beobachtungen gelegt wird. Ein Beispiel für eine Zeitreihe, die vermutlich mit einem additiven Modell mit einem Trend und Saisonalität beschrieben werden kann, ist die Zeitreihe des Protokolls der monatlichen Verkäufe für den Souvenirshop an einem Badeort in Queensland, Australien (oben diskutiert): Zu machen Prognosen können wir mit der Funktion HoltWinters () ein Vorhersagemodell platzieren. Zum Beispiel, um ein prädiktives Modell für das Protokoll der monatlichen Verkäufe in der Souvenir-Shop passen, geben wir: Die Schätzwerte von Alpha, Beta und Gamma sind 0,41, 0,00 und 0,96. Der Wert von alpha (0,41) ist relativ niedrig, was darauf hinweist, dass die Schätzung des Pegels zum aktuellen Zeitpunkt auf sowohl neueren Beobachtungen als auch einigen Beobachtungen in der weit entfernten Vergangenheit beruht. Der Wert von beta ist 0,00, was anzeigt, dass die Schätzung der Steigung b der Trendkomponente nicht über die Zeitreihe aktualisiert wird und statt dessen gleich dem Anfangswert gesetzt wird. Das macht einen guten intuitiven Sinn, denn das Niveau ändert sich ziemlich viel über die Zeitreihe, aber die Steigung b der Trendkomponente bleibt ungefähr gleich. Im Gegensatz dazu ist der Wert von Gamma (0,96) hoch, was darauf hinweist, dass die Schätzung der saisonalen Komponente zum gegenwärtigen Zeitpunkt nur auf sehr jüngsten Beobachtungen beruht. Wie für eine einfache exponentielle Glättung und Holt8217s exponentielle Glättung, können wir die ursprüngliche Zeitreihe als schwarze Linie zeichnen, wobei die prognostizierten Werte als rote Linie darüber liegen: Wir sehen aus der Handlung, dass die Holt-Winters-Exponentialmethode sehr erfolgreich ist Bei der Vorhersage der saisonalen Gipfel, die etwa im November jedes Jahr auftreten. Um Prognosen für zukünftige Zeiten zu machen, die nicht in der ursprünglichen Zeitreihe enthalten sind, verwenden wir die Funktion 8220forecast. HoltWinters () 8221 im Paket 8220forecast8221. Zum Beispiel sind die ursprünglichen Daten für die Souvenirverkäufe von Januar 1987 bis Dezember 1993. Wenn wir Prognosen für Januar 1994 bis Dezember 1998 (48 weitere Monate) machen wollten und die Prognosen abgeben würden, würden wir folgendes eingeben: Die Prognosen werden als angezeigt Eine blaue Linie, und die orange und gelb schattigen Bereiche zeigen jeweils 80 bzw. 95 Vorhersageintervalle. Wir können untersuchen, ob das prädiktive Modell verbessert werden kann, indem man prüft, ob die Prognosefehler in der Stichprobe keine Autokorrelationen ohne Verzögerung bei den Verzögerungen von 1-20 zeigen, indem sie ein Korrelogramm durchführen und den Ljung-Box-Test durchführen: Das Korrelogram zeigt, dass die Autokorrelationen vorliegen Für die in-Beispiel-Prognosefehler überschreiten Sie nicht die Signifikanzgrenzen für die Verzögerungen 1-20. Darüber hinaus ist der p-Wert für den Ljung-Box-Test 0,6, was darauf hinweist, dass es wenig Hinweise auf Nicht-Null-Autokorrelationen bei den Verzögerungen 1-20 gibt. Wir können überprüfen, ob die Prognosefehler im Laufe der Zeit konstant abweichen und normalerweise mit dem Mittelwert Null verteilt werden, indem man einen Zeitplan der Prognosefehler und eines Histogramms (mit überlagerter Normalkurve) bildet: Aus dem Zeitplot erscheint es plausibel, dass die Prognosefehler haben im Laufe der Zeit eine ständige Abweichung. From the histogram of forecast errors, it seems plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero. Thus, there is little evidence of autocorrelation at lags 1-20 for the forecast errors, and the forecast errors appear to be normally distributed with mean zero and constant variance over time. This suggests that Holt-Winters exponential smoothing provides an adequate predictive model of the log of sales at the souvenir shop, which probably cannot be improved upon. Furthermore, the assumptions upon which the prediction intervals were based are probably valid. ARIMA Models Exponential smoothing methods are useful for making forecasts, and make no assumptions about the correlations between successive values of the time series. However, if you want to make prediction intervals for forecasts made using exponential smoothing methods, the prediction intervals require that the forecast errors are uncorrelated and are normally distributed with mean zero and constant variance. While exponential smoothing methods do not make any assumptions about correlations between successive values of the time series, in some cases you can make a better predictive model by taking correlations in the data into account. Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) models include an explicit statistical model for the irregular component of a time series, that allows for non-zero autocorrelations in the irregular component. Differencing a Time Series ARIMA models are defined for stationary time series. Therefore, if you start off with a non-stationary time series, you will first need to 8216difference8217 the time series until you obtain a stationary time series. If you have to difference the time series d times to obtain a stationary series, then you have an ARIMA(p, d,q) model, where d is the order of differencing used. You can difference a time series using the 8220diff()8221 function in R. For example, the time series of the annual diameter of women8217s skirts at the hem, from 1866 to 1911 is not stationary in mean, as the level changes a lot over time: We can difference the time series (which we stored in 8220skirtsseries8221, see above) once, and plot the differenced series, by typing: The resulting time series of first differences (above) does not appear to be stationary in mean. Therefore, we can difference the time series twice, to see if that gives us a stationary time series: Formal tests for stationarity Formal tests for stationarity called 8220unit root tests8221 are available in the fUnitRoots package, available on CRAN, but will not be discussed here. The time series of second differences (above) does appear to be stationary in mean and variance, as the level of the series stays roughly constant over time, and the variance of the series appears roughly constant over time. Thus, it appears that we need to difference the time series of the diameter of skirts twice in order to achieve a stationary series. If you need to difference your original time series data d times in order to obtain a stationary time series, this means that you can use an ARIMA(p, d,q) model for your time series, where d is the order of differencing used. For example, for the time series of the diameter of women8217s skirts, we had to difference the time series twice, and so the order of differencing (d) is 2. This means that you can use an ARIMA(p,2,q) model for your time series. The next step is to figure out the values of p and q for the ARIMA model. Another example is the time series of the age of death of the successive kings of England (see above): From the time plot (above), we can see that the time series is not stationary in mean. To calculate the time series of first differences, and plot it, we type: The time series of first differences appears to be stationary in mean and variance, and so an ARIMA(p,1,q) model is probably appropriate for the time series of the age of death of the kings of England. By taking the time series of first differences, we have removed the trend component of the time series of the ages at death of the kings, and are left with an irregular component. We can now examine whether there are correlations between successive terms of this irregular component if so, this could help us to make a predictive model for the ages at death of the kings. Selecting a Candidate ARIMA Model If your time series is stationary, or if you have transformed it to a stationary time series by differencing d times, the next step is to select the appropriate ARIMA model, which means finding the values of most appropriate values of p and q for an ARIMA(p, d,q) model. To do this, you usually need to examine the correlogram and partial correlogram of the stationary time series. To plot a correlogram and partial correlogram, we can use the 8220acf()8221 and 8220pacf()8221 functions in R, respectively. To get the actual values of the autocorrelations and partial autocorrelations, we set 8220plotFALSE8221 in the 8220acf()8221 and 8220pacf()8221 functions. Example of the Ages at Death of the Kings of England For example, to plot the correlogram for lags 1-20 of the once differenced time series of the ages at death of the kings of England, and to get the values of the autocorrelations, we type: We see from the correlogram that the autocorrelation at lag 1 (-0.360) exceeds the significance bounds, but all other autocorrelations between lags 1-20 do not exceed the significance bounds. To plot the partial correlogram for lags 1-20 for the once differenced time series of the ages at death of the English kings, and get the values of the partial autocorrelations, we use the 8220pacf()8221 function, by typing: The partial correlogram shows that the partial autocorrelations at lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, are negative, and are slowly decreasing in magnitude with increasing lag (lag 1: -0.360, lag 2: -0.335, lag 3:-0.321). The partial autocorrelations tail off to zero after lag 3. Since the correlogram is zero after lag 1, and the partial correlogram tails off to zero after lag 3, this means that the following ARMA (autoregressive moving average) models are possible for the time series of first differences: an ARMA(3,0) model, that is, an autoregressive model of order p3, since the partial autocorrelogram is zero after lag 3, and the autocorrelogram tails off to zero (although perhaps too abruptly for this model to be appropriate) an ARMA(0,1) model, that is, a moving average model of order q1, since the autocorrelogram is zero after lag 1 and the partial autocorrelogram tails off to zero an ARMA(p, q) model, that is, a mixed model with p and q greater than 0, since the autocorrelogram and partial correlogram tail off to zero (although the correlogram probably tails off to zero too abruptly for this model to be appropriate) We use the principle of parsimony to decide which model is best: that is, we assume that the model with the fewest parameters is best. The ARMA(3,0) model has 3 parameters, the ARMA(0,1) model has 1 parameter, and the ARMA(p, q) model has at least 2 parameters. Therefore, the ARMA(0,1) model is taken as the best model. An ARMA(0,1) model is a moving average model of order 1, or MA(1) model. This model can be written as: Xt - mu Zt - (theta Zt-1), where Xt is the stationary time series we are studying (the first differenced series of ages at death of English kings), mu is the mean of time series Xt, Zt is white noise with mean zero and constant variance, and theta is a parameter that can be estimated. A MA (moving average) model is usually used to model a time series that shows short-term dependencies between successive observations. Intuitively, it makes good sense that a MA model can be used to describe the irregular component in the time series of ages at death of English kings, as we might expect the age at death of a particular English king to have some effect on the ages at death of the next king or two, but not much effect on the ages at death of kings that reign much longer after that. Shortcut: the auto. arima() function The auto. arima() function can be used to find the appropriate ARIMA model, eg. type 8220library(forecast)8221, then 8220auto. arima(kings)8221. The output says an appropriate model is ARIMA(0,1,1). Since an ARMA(0,1) model (with p0, q1) is taken to be the best candidate model for the time series of first differences of the ages at death of English kings, then the original time series of the ages of death can be modelled using an ARIMA(0,1,1) model (with p0, d1, q1, where d is the order of differencing required). Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere Let8217s take another example of selecting an appropriate ARIMA model. The file file robjhyndmantsdldataannualdvi. dat contains data on the volcanic dust veil index in the northern hemisphere, from 1500-1969 (original data from Hipel and Mcleod, 1994). This is a measure of the impact of volcanic eruptions8217 release of dust and aerosols into the environment. We can read it into R and make a time plot by typing: From the time plot, it appears that the random fluctuations in the time series are roughly constant in size over time, so an additive model is probably appropriate for describing this time series. Furthermore, the time series appears to be stationary in mean and variance, as its level and variance appear to be roughly constant over time. Therefore, we do not need to difference this series in order to fit an ARIMA model, but can fit an ARIMA model to the original series (the order of differencing required, d, is zero here). We can now plot a correlogram and partial correlogram for lags 1-20 to investigate what ARIMA model to use: We see from the correlogram that the autocorrelations for lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, and that the autocorrelations tail off to zero after lag 3. The autocorrelations for lags 1, 2, 3 are positive, and decrease in magnitude with increasing lag (lag 1: 0.666, lag 2: 0.374, lag 3: 0.162). The autocorrelation for lags 19 and 20 exceed the significance bounds too, but it is likely that this is due to chance, since they just exceed the significance bounds (especially for lag 19), the autocorrelations for lags 4-18 do not exceed the signifiance bounds, and we would expect 1 in 20 lags to exceed the 95 significance bounds by chance alone. From the partial autocorrelogram, we see that the partial autocorrelation at lag 1 is positive and exceeds the significance bounds (0.666), while the partial autocorrelation at lag 2 is negative and also exceeds the significance bounds (-0.126). The partial autocorrelations tail off to zero after lag 2. Since the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2, the following ARMA models are possible for the time series: an ARMA(2,0) model, since the partial autocorrelogram is zero after lag 2, and the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2 an ARMA(0,3) model, since the autocorrelogram is zero after lag 3, and the partial correlogram tails off to zero (although perhaps too abruptly for this model to be appropriate) an ARMA(p, q) mixed model, since the correlogram and partial correlogram tail off to zero (although the partial correlogram perhaps tails off too abruptly for this model to be appropriate) Shortcut: the auto. arima() function Again, we can use auto. arima() to find an appropriate model, by typing 8220auto. arima(volcanodust)8221, which gives us ARIMA(1,0,2), which has 3 parameters. However, different criteria can be used to select a model (see auto. arima() help page). If we use the 8220bic8221 criterion, which penalises the number of parameters, we get ARIMA(2,0,0), which is ARMA(2,0): 8220auto. arima(volcanodust, ic8221bic8221)8221. The ARMA(2,0) model has 2 parameters, the ARMA(0,3) model has 3 parameters, and the ARMA(p, q) model has at least 2 parameters. Therefore, using the principle of parsimony, the ARMA(2,0) model and ARMA(p, q) model are equally good candidate models. An ARMA(2,0) model is an autoregressive model of order 2, or AR(2) model. This model can be written as: Xt - mu (Beta1 (Xt-1 - mu)) (Beta2 (Xt-2 - mu)) Zt, where Xt is the stationary time series we are studying (the time series of volcanic dust veil index), mu is the mean of time series Xt, Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated, and Zt is white noise with mean zero and constant variance. An AR (autoregressive) model is usually used to model a time series which shows longer term dependencies between successive observations. Intuitively, it makes sense that an AR model could be used to describe the time series of volcanic dust veil index, as we would expect volcanic dust and aerosol levels in one year to affect those in much later years, since the dust and aerosols are unlikely to disappear quickly. If an ARMA(2,0) model (with p2, q0) is used to model the time series of volcanic dust veil index, it would mean that an ARIMA(2,0,0) model can be used (with p2, d0, q0, where d is the order of differencing required). Similarly, if an ARMA(p, q) mixed model is used, where p and q are both greater than zero, than an ARIMA(p,0,q) model can be used. Forecasting Using an ARIMA Model Once you have selected the best candidate ARIMA(p, d,q) model for your time series data, you can estimate the parameters of that ARIMA model, and use that as a predictive model for making forecasts for future values of your time series. You can estimate the parameters of an ARIMA(p, d,q) model using the 8220arima()8221 function in R. Example of the Ages at Death of the Kings of England For example, we discussed above that an ARIMA(0,1,1) model seems a plausible model for the ages at deaths of the kings of England. You can specify the values of p, d and q in the ARIMA model by using the 8220order8221 argument of the 8220arima()8221 function in R. To fit an ARIMA(p, d,q) model to this time series (which we stored in the variable 8220kingstimeseries8221, see above), we type: As mentioned above, if we are fitting an ARIMA(0,1,1) model to our time series, it means we are fitting an an ARMA(0,1) model to the time series of first differences. An ARMA(0,1) model can be written Xt - mu Zt - (theta Zt-1), where theta is a parameter to be estimated. From the output of the 8220arima()8221 R function (above), the estimated value of theta (given as 8216ma18217 in the R output) is -0.7218 in the case of the ARIMA(0,1,1) model fitted to the time series of ages at death of kings. Specifying the confidence level for prediction intervals You can specify the confidence level for prediction intervals in forecast. Arima() by using the 8220level8221 argument. For example, to get a 99.5 prediction interval, we would type 8220forecast. Arima(kingstimeseriesarima, h5, levelc(99.5))8221. We can then use the ARIMA model to make forecasts for future values of the time series, using the 8220forecast. Arima()8221 function in the 8220forecast8221 R package. For example, to forecast the ages at death of the next five English kings, we type: The original time series for the English kings includes the ages at death of 42 English kings. The forecast. Arima() function gives us a forecast of the age of death of the next five English kings (kings 43-47), as well as 80 and 95 prediction intervals for those predictions. The age of death of the 42nd English king was 56 years (the last observed value in our time series), and the ARIMA model gives the forecasted age at death of the next five kings as 67.8 years. We can plot the observed ages of death for the first 42 kings, as well as the ages that would be predicted for these 42 kings and for the next 5 kings using our ARIMA(0,1,1) model, by typing: As in the case of exponential smoothing models, it is a good idea to investigate whether the forecast errors of an ARIMA model are normally distributed with mean zero and constant variance, and whether the are correlations between successive forecast errors. For example, we can make a correlogram of the forecast errors for our ARIMA(0,1,1) model for the ages at death of kings, and perform the Ljung-Box test for lags 1-20, by typing: Since the correlogram shows that none of the sample autocorrelations for lags 1-20 exceed the significance bounds, and the p-value for the Ljung-Box test is 0.9, we can conclude that there is very little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors at lags 1-20. To investigate whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we can make a time plot and histogram (with overlaid normal curve) of the forecast errors: The time plot of the in-sample forecast errors shows that the variance of the forecast errors seems to be roughly constant over time (though perhaps there is slightly higher variance for the second half of the time series). The histogram of the time series shows that the forecast errors are roughly normally distributed and the mean seems to be close to zero. Therefore, it is plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance. Since successive forecast errors do not seem to be correlated, and the forecast errors seem to be normally distributed with mean zero and constant variance, the ARIMA(0,1,1) does seem to provide an adequate predictive model for the ages at death of English kings. Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere We discussed above that an appropriate ARIMA model for the time series of volcanic dust veil index may be an ARIMA(2,0,0) model. To fit an ARIMA(2,0,0) model to this time series, we can type: As mentioned above, an ARIMA(2,0,0) model can be written as: written as: Xt - mu (Beta1 (Xt-1 - mu)) (Beta2 (Xt-2 - mu)) Zt, where Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated. The output of the arima() function tells us that Beta1 and Beta2 are estimated as 0.7533 and -0.1268 here (given as ar1 and ar2 in the output of arima()). Now we have fitted the ARIMA(2,0,0) model, we can use the 8220forecast. ARIMA()8221 model to predict future values of the volcanic dust veil index. The original data includes the years 1500-1969. To make predictions for the years 1970-2000 (31 more years), we type: We can plot the original time series, and the forecasted values, by typing: One worrying thing is that the model has predicted negative values for the volcanic dust veil index, but this variable can only have positive values The reason is that the arima() and forecast. Arima() functions don8217t know that the variable can only take positive values. Clearly, this is not a very desirable feature of our current predictive model. Again, we should investigate whether the forecast errors seem to be correlated, and whether they are normally distributed with mean zero and constant variance. To check for correlations between successive forecast errors, we can make a correlogram and use the Ljung-Box test: The correlogram shows that the sample autocorrelation at lag 20 exceeds the significance bounds. However, this is probably due to chance, since we would expect one out of 20 sample autocorrelations to exceed the 95 significance bounds. Furthermore, the p-value for the Ljung-Box test is 0.2, indicating that there is little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors for lags 1-20. To check whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we make a time plot of the forecast errors, and a histogram: The time plot of forecast errors shows that the forecast errors seem to have roughly constant variance over time. However, the time series of forecast errors seems to have a negative mean, rather than a zero mean. We can confirm this by calculating the mean forecast error, which turns out to be about -0.22: The histogram of forecast errors (above) shows that although the mean value of the forecast errors is negative, the distribution of forecast errors is skewed to the right compared to a normal curve. Therefore, it seems that we cannot comfortably conclude that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance Thus, it is likely that our ARIMA(2,0,0) model for the time series of volcanic dust veil index is not the best model that we could make, and could almost definitely be improved upon Links and Further Reading Here are some links for further reading. For a more in-depth introduction to R, a good online tutorial is available on the 8220Kickstarting R8221 website, cran. r-project. orgdoccontribLemon-kickstart . There is another nice (slightly more in-depth) tutorial to R available on the 8220Introduction to R8221 website, cran. r-project. orgdocmanualsR-intro. html . You can find a list of R packages for analysing time series data on the CRAN Time Series Task View webpage . To learn about time series analysis, I would highly recommend the book 8220Time series8221 (product code M24902) by the Open University, available from the Open University Shop . There are two books available in the 8220Use R8221 series on using R for time series analyses, the first is Introductory Time Series with R by Cowpertwait and Metcalfe, and the second is Analysis of Integrated and Cointegrated Time Series with R by Pfaff. Acknowledgements I am grateful to Professor Rob Hyndman. for kindly allowing me to use the time series data sets from his Time Series Data Library (TSDL) in the examples in this booklet. Many of the examples in this booklet are inspired by examples in the excellent Open University book, 8220Time series8221 (product code M24902), available from the Open University Shop . Thank you to Ravi Aranke for bringing auto. arima() to my attention, and Maurice Omane-Adjepong for bringing unit root tests to my attention, and Christian Seubert for noticing a small bug in plotForecastErrors(). Thank you for other comments to Antoine Binard and Bill Johnston. I will be grateful if you will send me (Avril Coghlan) corrections or suggestions for improvements to my email address alc 64 sanger 46 ac 46 uk
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